5.12. Пример расчета (задача № 12)

На брус заданного поперечного сечения (a = 1,05 м, b = 1 м, с = 0,15 м, d = 0,2 м) в точке D верхнего торца действует продоль­ная сила Р = 150 кН (рис. 5.33). Требуется:

1. Найти положение нулевой линии;

2. Определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) на­пряжения;

3. Построить ядро сечения.

Решение

1. Найти положение нулевой линии.

1.1. Нахождение положения главных центральных осей. Так как поперечное сечение бруса (рис. 5.33) имеет две оси симметрии xС и yС, то они и будут главными центральными осями инерции. Площадь поперечного сечения бруса равна:

м2.

1.2. Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции. Моменты инерции определяем по формулам:

= 521,6×10-4 м;

м4 .

Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:

м2 ;

м2 .

1.3. Определение положения нулевой линии. Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:

м;

м,

где xP = 0,525 м и yP = 0,5 м - координаты точки приложения силы Р (точка D на рис. 5.33). Отложив отрезки и , соответст­венно, на осях xC и yC, и проведя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, т.е. геометрическое место точек, где нормальные напряжения равны нулю (s = 0). На рис. 5.33 эта линия обозначена n-n.

2. Определить наибольшие (растягивающие и сжи­мающие) напряжения. Точка D, координаты которой xD = = 0,525 м и yD = 0,5 м, наиболее удалена от нулевой линии в сжа­той зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле:

= -1,436 кН/м2 .

Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К, имеющей координаты xK = -0,525 м и yK = -0,5 м:

= 0,996 кН/м2.

По полученным значениям sD и sК строим эпюру нормальных напряжений (рис. 5.33).

3. Построить ядро сечения. Для построения ядра симмет­ричного сечения рассмотрим два положения касательной к контуру сечения I-I и II-II (рис. 5.33). Отрезки, отсекаемые касательной I-I на осях координат, равны:

= ¥; = 0,5 м.

Координаты граничной точки I ядра сечения определяются по формулам:

м.

Касательная II-II отсекает отрезки = 0,525 м, = ¥.

Соответственно, координаты граничной точки 2:

.

Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, т.к. сечение бруса симметричное. Учитывая это, для касательных III-III, IV-IV координаты граничных точек 3 и 4 будут:

м; .

Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4 прямыми, получим ядро рассматриваемого сечения (рис. 5.33).