Проценты и процентная ставка

Процент представляет собой рентную сумму, выплачиваемую финансовым учреждениям за пользование денежными средствами.

Ставка процента или ставка роста капитала - это ставка дохода, получаемого от инвестиции.

Процентная ставка с точки зрения кредитора

Альтернативные возможности использования собственных денежных средств

Потребление

Товарный обмен

Накопление

Долг

Рента

Факторы, определяющие величину процентной ставки с точки зрения кредитора

1.Риск невозврата

2.Затраты кредитора

3.Упущенные возможности

Процентная ставка с точки зрения должника

Альтернативные возможности использования собственных денежных средств

Потребление

Товарный обмен

Накопление

Долг

Рента

Факторы, определяющие величину процентной ставки с точки зрения кредитора

Привилегия немедленного удовлетворения потребности

Ожидаемая доходность заемных средств превышает затраты на оплату процентов

Простые и сложные проценты

Простой процент, выплачиваемый за ссуду, пропорционален продолжительности времени, на который взята ссуда

I = P*n*i

где I - выплачиваемый процент, P - сумма кредита, n - процентный срок и i - процентная ставка.

Допустим, что берется в долг 1000 по ставке простого процента 30% годовых. В конце первого года процент, подлежащий к оплате, составляет

I = 1000(1)(0.3) =300

С учетом самого долга и процентов сумма, подлежащая оплате на конец года, составит 1300.

Сложный процент - начисление процентов производится на сумму, включающую проценты, начисленные за предыдущие периоды.

n

I = P* [(1 + i) - 1]

Метод исходит из предположения, что все выплаты по процентам (процентные деньги) реинвестируются и приносят такой же процент дохода.

Допустим, что берется в долг 1000 по ставке простого процента 30% годовых на два года. Долг вместе с процентами выплачивается в конце срока кредитования. В конце первого года процент, подлежащий оплате, составляет

I = 1000(1)(0.3) = 300

а в конце второго года

I = 300 + (1000+300)*(0.3) =(1000)*[(1+0.3)^2 - 1]=[PV1] 690

Таблица 9.1

Вычисление сложного процента, когда проценты выплачиваются ежегодно

Годы

Сумма долга на начало года

(А)

Процент к оплате на конец года

(В)

Сумма долга на конец года

(А+В)

Сумма, оплаченная в конце года

1

1000

300

1300

300

2

1000

300

1300

300

3

1000

300

1300

300

4

1000

300

1300

1300

Таблица 2

Вычисление сложного процента, когда проценты накапливаются

Годы

Сумма долга на начало года

(А)

Процент к оплате на конец года

(В)

Сумма долга на конец года

(А+В)

Сумма, оплаченная в конце года

1

1000

1000SYMBOL 180 \f "Symbol" \s 10ґ0.3= 300

1000x1.3=1300

0

2

1300

1300SYMBOL 180 \f "Symbol" \s 10ґ0.3= 390

1000(1.3)2=1690

0

3

1690

1690 SYMBOL 180 \f "Symbol" \s 10ґ 0.3= 507

1000(1.3)3=2197

0

4

2197

2197 SYMBOL 180 \f "Symbol" \s 10ґ 0.3 =659.1

1000(1.3)4 = 2856.1

2856.1

Описание денежного потока во времени

Рис. 1. Диаграмма денежных потоков

Поскольку в каждой сделке имеются два участника, направления движения денежных средств на диаграмме денежных потоков зависят от избранной точки зрения.

Чистый денежный поток представляет собой арифметическую сумму поступлений (+) и платежей (-), совершаемых одновременно.

Обозначение: Ft - чистый денежный поток в момент времени t,

Ft < 0 представляет чистый платеж денежных средств;

Ft > 0 представляет чистое поступление денежных средств.

Формулы процентов (раздельное начисление, раздельные платежи)

Допущения:

1. Окончание одного года совпадает с началом следующего года.

2. P относится к началу года, который принят как текущий.

3. F относится к концу n-го года с момента времени, принятого как текущий.

4. A производится в конце каждого года рассматриваемого периода. Когда совершаются P и A , первый A из серии совершается через год, после P. Когда совершаются F и A, последний платеж A из серии совершается одновременно с F.

1. Коэффициент сложного процента при единичном платеже

Рис. Единичная текущая сумма и единичная будущая сумма

Таблица 3.

Расчет коэффициента сложного процента при единичном платеже

Год

Сумма на начало года

Процент в течение года

Сумма и проценты на конец года

1

P

Pi

P + Pi = P(l + i)1

2

P(1 + i)

P(l + i)i

P(l + i) + P(l + i)i = P(l + i)2

3

P(1 + i)2

P(1 + i)2i

P(1 + i)2 + P(1 + i)2i = P(l + i)3

n

P(1 + i)n-1

P(1 + i)n-1i

P(1 + i)n-1 + P(1 + i)n-1i = P(l + i)n

F = P(l + i)n

или

F = P(F/P,i,n).

ПРИМЕР:

F = 1000(F/P,30,4) = 1000(2.8561) = 2856.1

2. Коэффициент текущей стоимости при единичном платеже

ПРИМЕР:

P = 2856.1*[1/(1 + 0.3)4] = 1811(0.3501) = 1000

3. Коэффициент накопленной суммы при серии равных платежей

Рис. Серии равных платежей и единичная будущая сумма

Пример.

На сберегательный счет в банк ежегодно вкладывается по 100 руб. Ставка процента на сберегательном счете составляет 12 % годовых. Какая сумма будет накоплена на счете в течение 5-ти лет?

Таблица 5.

Сумма сложного процента серии ежегодных платежей

Ко-нец года

Коэффициент сложного процента серии ежегодных платежей

Сложный процент в конце 5-го года

Общая сумма F

1

100(1.12)4

157.35

2

100(1.12)3

140.49

3

100(1.12)2

125.44

4

100(1.12)1

112.00

5

100(1.12)0

100.00

635.28

F = A(1) + A(1 + i) + ...+ A(1 + i)n-2 + A(1 + i)n-1.

Умножим это выражение на (1 + i):

F(1 + i) = A(1 + i) + A(1 + i)2 + ...+ A(1 + i)n-1 + A(1 + i)n

Вычтя первое выражение из второго, получим

F(1 + i) = A(1 + i) + A(1 + i)2 + ...+ A(1 + i)n-1 + A(1 + i)n

-F = -A(1) - A(1 + i) - A(1 + i)2 - - A(1 + i)n-1

F(1 + i) -F = -A A(1 + i)n

Решение для F дает

ПРИМЕР:

F = 100[(1 + 0.12)5 - 1]/0.12= 100*(6.353) = 635

4 Коэффициент аннуитета

ПРИМЕР:

Tребуется накопить $635, произведя серию из пяти платежей с ежегодно начисляемым сложным процентом 12% годовых, следует каждый год совершать платеж

A = 635 * 0.12/[(1 + 0.12)5 - 1] = 635(0.1574) = 100

5. Коэффициент возврата капитала серией равных платежей

ПРИМЕР:

Инвестиционным проектом предусматривается приобретение оборудования по условиям торгового лизинга. Стоимость оборудования равна $2.000.000. Предоплата составляет 50 % от стоимости оборудования. Последующие платежи производятся ежеквартально серией равных 10 - ти платежей при ставке процента 10 % годовых. Определить сумму ежеквартальных платежей.

При подобной системе платежей важно определить какая часть платежа относится к возврату основного долга, а какая часть платежа является оплатой процентов по лизингу. В частности, это важно для включения процентов в себестоимость для целей налогообложения.

Схема расчета:

N платежа

Платеж

%

Возврат тела

1

114 259

25 000

89258

2

114 259

22 768

91490

3

114 259

20 481

93777

4

114 259

18 137

96121

5

114 259

15 734

98524

6

114 259

13 271

100988

7

114 259

10 746

103512

8

114 259

8 158

106100

9

114 259

5 506

108753

10

114 259

2 787

111472

ВСЕГО

1 142 590

142 590

1 000 000

6. Коэффициент текущей стоимости серии равных платежей

ПРИМЕР:

Текущая стоимость для серии равных платежей $223 при ставке сложного процента 15% годовых

Номинальная и эффективная ставки процента

Пусть

r = номинальная годовая ставка процента;

i = эффективная ставка процента;

m = количество периодов в году.

Эффективная ставка процента на любой временной интервал: