2.3. Пример расчета (задача № 1)

Для стального бруса квадратного сечения сжатого силой Р с учетом собственного веса при исходных данных приведенных ниже, требу­ется (рис. 2.3, а):

1. Определить количество расчетных участков;

2. Составить аналитические выражения для нормальных сил Nz , нормальных напряжений sz и вычислить их значения для каж­дого из участков с учетом их собственных весов;

3. Построить эпюры Nz и sz ;

4. Вычислить перемещение верхнего конца колонны от дейст­вия силы Р и собственного веса.

Исходные данные: Р=20 кН; l1 =l2 =l3 =0,4м; модуль упругости стали Е = 2,1×108 кН/м2; F1 = 4×10-2 м2; F2 = 9×10-2 м2; F3 = 25×10-2 м2; g = 78 кН/м3 .

Решение

1. Определение количества участков. Так как нор­мальная сила Nz зависит от величин внешних сил, в данном случае включающих в себя и собственный вес колонны, а последний, в свою очередь, от размеров попе­речного сечения Fiи объемного веса g, то границами участков следует назначать те сечения, в которых приложены внешние сосредоточенные силы и где происходит скачкообразное изменение площади попе­речного сечения или объемного веса материалов конструкций.

Исходя из вышесказанного, учитывая g = const, брус будет иметь три участка:

1 участок - от 0 до сечения В (где приложена сила Р);

2 участок - от сечения В до сечения С;

3 участок - от сечения С до сечения D.

Следует заметить, что при определении нормальных напряже­ний используются те же участки.

2. Составить аналитические выражения для нор­мальных сил Nz, нормальных напряжений sz и вычис­лить их значения для каждого из участков, с учетом их собственных весов. Для этого воспользуемся методом сече­ний.

1 участок (0 - В) 0 £ z1 £ 0,4 м.

Проведя сечение 1-1 на расстоянии z1 от начала координат (точка 0), рассмотрим равновесие верхней части. При этом, к рас­сматриваемой части прикладываются в центре ее тяжести собствен­ный вес и нормальная сила , заменяющую действие отброшен­ной нижней части бруса на верхнюю рассматриваемую (рис. 2.3, б). Составив уравнение равновесия рассматриваемой верхней части ко­лонны по оси z, получим:

.

В свою очередь, собственный вес верхней части колонны оп­ределяется следующим образом:

кН.

Тогда выражение для нормальной силы будет иметь вид:

кН,

а для нормальных напряжений :

кН/м2.

Так как, и линейно зависят от z1 , то для построения их графиков (эпюр) достаточно определить значения этих величин на границах участка, т.е.

при z1 = 0

при z1 = 0,4 м кН;

кН/м2.

Знаки минус при и указывают на то, что принятое на­правление для этих величин не совпадает с действительным, т. к. в принятой схеме продольная сила не растягивает, а сжимает первый участок.

2 участок (В - С) 0,4 м £ z2 £ 0,8 м.

Аналогично предыдущему проводим сечение 2-2 на расстоянии z2 (рис. 2.3, в). Для верхней части составляем уравнение равновесия åz = 0 .

В это уравнение войдут: собственный вес первого участка Р1 = = gF1 l1; собственный вес отсеченной части второго участка ; сосредоточенная сила Р = 20 кН, а также сила .

Тогда уравнение равновесия примет вид:

Р1+ + P + = 0,

отсюда

= -P - gF1l1 - = -20 - 78×4×10-2×0,4 - 78×9×10-2 (z2 -0,4) =
= -7,02×(z2 + 2,62678) кН.

Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для нормального напряжения может быть запи­сано таким образом:

êÍ/ì2.

Вычислим значения ординат и в граничных сечениях второго участка:

при z2 = 0,4 м кН,

кН/м2;

при z2 = 0,8 м кН,

кН/м2.

3 участок (С - D) 0,8 м £ z3 £ 1,2 м.

Составив уравнение равновесия åz = 0 (рис. 2.3, г) для верхней части бруса, получим:

Р1+ Р2+ + P + = 0,

откуда

=-P-gF1l1 -gF2l2 - gF3(z3 - l1 - l2) = -20 - 78×4×10-2×0,4 -
- 78×9×10-2 ×0,4 - 78×25×10-2 (z3 - 0,8) = -19,5×(z3 + 0,43364) кН.

Выражение для напряжения:

кН/м2.

Вычислим значения ординат и в граничных сечениях третьего участка:

при z3 = 0,8 м (0,8) = -19,5 (0,8 + 0,43364) = -24,056 кН,

(0,8) = -78(0,8 + 0,43364) =-96,224кН/м2;

при z3 = 1,2 м (1,2) = -19,5 (1,2 + 0,43364) = -31,856 кН,

кН/м2.

3. Построение эпюр Nz и sz По причине линейной зависимости нормальной силы и напряжений от координаты z для построения их эпюр достаточно значений Nz и sz в граничных сечениях каждого из участков (см. рис. 2.3, д, е). Необходимым условием правильности построения этих графиков является выпол­нение следующих требований:

- скачок в эпюре Nz должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть равным по величине значению этой силы;

- скачки в эпюре sz должны совпадать с точками приложения внешней силы Р и изменения площади поперечного сечения ко­лонны.

После анализа полученных эпюр (рис. 2.3, д, е) легко можно убедиться, что построения выполнены правильно.

4. Вычисление перемещения верхнего конца ко­лонны от действия всех сил. Полное перемещение со­гласно закону Гука может быть вычислено по формуле

.

В данном случае это выражение принимает следующий вид:

Так как величины определенных интегралов равны площадям, очерченным соответствующими подынтегральными функциями, то для вычисления перемещений Dli достаточно вычислить площади эпюры Nz на каждом из этих участков и разделить их на Ei Fi . Следовательно,

м.