2.3. Пример расчета (задача № 1)
Для стального бруса квадратного сечения сжатого силой Р с учетом собственного веса при исходных данных приведенных ниже, требуется (рис. 2.3, а):
1. Определить количество расчетных участков;
2. Составить аналитические выражения для нормальных сил Nz , нормальных напряжений sz и вычислить их значения для каждого из участков с учетом их собственных весов;
3. Построить эпюры Nz и sz ;
4. Вычислить перемещение верхнего конца колонны от действия силы Р и собственного веса.
Исходные данные: Р=20 кН; l1 =l2 =l3 =0,4м; модуль упругости стали Е = 2,1×108 кН/м2; F1 = 4×10-2 м2; F2 = 9×10-2 м2; F3 = 25×10-2 м2; g = 78 кН/м3 .
Решение
1. Определение количества участков. Так как нормальная сила Nz зависит от величин внешних сил, в данном случае включающих в себя и собственный вес колонны, а последний, в свою очередь, от размеров поперечного сечения Fiи объемного веса g, то границами участков следует назначать те сечения, в которых приложены внешние сосредоточенные силы и где происходит скачкообразное изменение площади поперечного сечения или объемного веса материалов конструкций.
Исходя из вышесказанного, учитывая g = const, брус будет иметь три участка:
1 участок - от 0 до сечения В (где приложена сила Р);
2 участок - от сечения В до сечения С;
3 участок - от сечения С до сечения D.
Следует заметить, что при определении нормальных напряжений используются те же участки.
2. Составить аналитические выражения для нормальных сил Nz, нормальных напряжений sz и вычислить их значения для каждого из участков, с учетом их собственных весов. Для этого воспользуемся методом сечений.
1 участок (0 - В) 0 £ z1 £ 0,4 м.
Проведя сечение 1-1 на расстоянии z1 от начала координат (точка 0), рассмотрим равновесие верхней части. При этом, к рассматриваемой части прикладываются в центре ее тяжести собственный вес и нормальная сила 
, заменяющую действие отброшенной нижней части бруса на верхнюю рассматриваемую (рис. 2.3, б). Составив уравнение равновесия рассматриваемой верхней части колонны по оси z, получим:
.
В свою очередь, собственный вес верхней части колонны определяется следующим образом:
кН.
Тогда выражение для нормальной силы будет иметь вид:
кН,
а для нормальных напряжений 
:
кН/м2.
Так как, 
и линейно зависят от z1 , то для построения их графиков (эпюр) достаточно определить значения этих величин на границах участка, т.е.
при z1 = 0 
при z1 = 0,4 м 
кН;
кН/м2.
Знаки минус при и указывают на то, что принятое направление для этих величин не совпадает с действительным, т. к. в принятой схеме продольная сила не растягивает, а сжимает первый участок.
2 участок (В - С) 0,4 м £ z2 £ 0,8 м.
Аналогично предыдущему проводим сечение 2-2 на расстоянии z2 (рис. 2.3, в). Для верхней части составляем уравнение равновесия åz = 0 .
В это уравнение войдут: собственный вес первого участка Р1 = = gF1 l1; собственный вес отсеченной части второго участка 
; сосредоточенная сила Р = 20 кН, а также сила 
.
Тогда уравнение равновесия примет вид:
Р1+ 
+ P + = 0,
отсюда
= -P - gF1l1 - = -20 - 78×4×10-2×0,4 - 78×9×10-2 (z2 -0,4) =
= -7,02×(z2 + 2,62678) кН.
Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для нормального напряжения может быть записано таким образом:
êÍ/ì2.
Вычислим значения ординат и 
в граничных сечениях второго участка:
при z2 = 0,4 м 
кН,
кН/м2;
при z2 = 0,8 м 
кН,
кН/м2.
3 участок (С - D) 0,8 м £ z3 £ 1,2 м.
Составив уравнение равновесия åz = 0 (рис. 2.3, г) для верхней части бруса, получим:
Р1+ Р2+ 
+ P + 
= 0,
откуда
=-P-gF1l1 -gF2l2 - gF3(z3 - l1 - l2) = -20 - 78×4×10-2×0,4 -
- 78×9×10-2 ×0,4 - 78×25×10-2 (z3 - 0,8) = -19,5×(z3 + 0,43364) кН.
Выражение для напряжения:
кН/м2.
Вычислим значения ординат и 
в граничных сечениях третьего участка:
при z3 = 0,8 м (0,8) = -19,5 (0,8 + 0,43364) = -24,056 кН,
(0,8) = -78(0,8 + 0,43364) =-96,224кН/м2;
при z3 = 1,2 м (1,2) = -19,5 (1,2 + 0,43364) = -31,856 кН,
кН/м2.
3. Построение эпюр Nz и sz По причине линейной зависимости нормальной силы и напряжений от координаты z для построения их эпюр достаточно значений Nz и sz в граничных сечениях каждого из участков (см. рис. 2.3, д, е). Необходимым условием правильности построения этих графиков является выполнение следующих требований:
- скачок в эпюре Nz должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть равным по величине значению этой силы;
- скачки в эпюре sz должны совпадать с точками приложения внешней силы Р и изменения площади поперечного сечения колонны.
После анализа полученных эпюр (рис. 2.3, д, е) легко можно убедиться, что построения выполнены правильно.
4. Вычисление перемещения верхнего конца колонны от действия всех сил. Полное перемещение согласно закону Гука может быть вычислено по формуле
.
В данном случае это выражение принимает следующий вид:
Так как величины определенных интегралов равны площадям, очерченным соответствующими подынтегральными функциями, то для вычисления перемещений Dli достаточно вычислить площади эпюры Nz на каждом из этих участков и разделить их на Ei Fi . Следовательно,
м.
|