3.4. Пример расчета (задача № 3)

Для сечения, составленного из швеллера №20 а, равнобокого уголка (80´80´8)×10-9 м3 и полосы (180´10)×10-6 м2 (рис. 3.6) требу­ется:

1. Найти общую площадь сечения;

2. Определить центр тяжести составного сечения;

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сече­ния относительно осей, проходящих через его центр тяжести;

4. Найти положение главных центральных осей инерции;

5. Определить величины главных центральных моментов инер­ции сечения и проверить правильность их вычисления;

6. Вычислить величины главных радиусов инерции.

Рис. 3.6

Решение

Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): hшв = 0,2 м, bшв = 0,08 м, Fшв=25,2×10-4м2, =1670×10-8м4, =139×10-8м4, =0,0228м.

Уголок (80´80´8)×10-9 м3 (ГОСТ 8509-72): bуг = 0,08 м, Fуг = = 12,3×10-4м2, = 73,4×10-8 м4, = 116×10-8 м4, =30,3×10-8 м4, = 0,0227 м.

Полоса bП×dП = 18×1×10-4 м2, FП = bП×dП = 18×1×10-4 м2 = 18×10-4 м2;

м4, = 486×10-8 м4.

1. Определение общей площади составного сече­ния. Общая площадь составного сечения определяется по фор­муле:

F = Fшв + Fуг + FП, F = (25,2 + 12,3+18)×10-4 = 55,5×10-4 м2.

2. Определить центр тяжести составного сече­ния. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси xшв и yшв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих че­рез его центр тяжести. Для определения указанных момен­тов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выра­жающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

(3.16)

(3.17)

(3.18)

В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:

Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:

=[1670+25,2(-1,7)2 +73,4+12,3(-9,43)2 +1,5+18×(8,8)2]×10-8 = =4305,4×10-8 м4.

=[139+25,2(1,42)2 +73,4+12,3(-3,13)2+486+18(0,14)2)×10-8 ==870,1×10-8 м4.

При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что и равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а

,

где a - угол между осью x и главной осью x0 уголка. Этот угол может быть положительным или отрицатель­ным. В нашем примере a = +45°, поэтому:

Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:

= [0+25,2×(-1,7)×1,42+42,85+12,3×(-9,43)(-3,13)+0+

+18×8,8×0,14]×10-8 = 367,2×10-8 м4.

4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции xC и yC определим по формуле:

.

Так как угол a получился отрицательным, то для отыскания по­ложения главной оси максимального момента инерции u следует ось x0, осевой момент инерции относительно которой имеет наи­большее значение, повернуть на угол a по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендику­лярна оси u.

5. Определить величины главных центральных мо­ментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.

1-ая проверка: Imax + Imin = = const;

Imax + Imin = (4344,55+830,95)×10-8=(5175,5)×10-8 м4;

= (4305,4+870,1)×10-8= (5175,5)×10-8 м4.

2-ая проверка: Imax > > > 0;

4344,55 ×10-8 > 4305,4×10-8 > 870,1×10-8 > 830,95×10-8 м4.

Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычис­ления моментов инерции составного сечения.

6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам: