3.4. Пример расчета (задача № 3)
Для сечения, составленного из швеллера №20 а, равнобокого уголка (80´80´8)×10-9 м3 и полосы (180´10)×10-6 м2 (рис. 3.6) требуется:
1. Найти общую площадь сечения;
2. Определить центр тяжести составного сечения;
3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести;
4. Найти положение главных центральных осей инерции;
5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления;
6. Вычислить величины главных радиусов инерции.
Рис. 3.6
Решение
Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): hшв = 0,2 м, bшв = 0,08 м, Fшв=25,2×10-4м2, 
=1670×10-8м4, 
=139×10-8м4, 
=0,0228м.
Уголок (80´80´8)×10-9 м3 (ГОСТ 8509-72): bуг = 0,08 м, Fуг = = 12,3×10-4м2, 
= 73,4×10-8 м4, 
= 116×10-8 м4, 
=30,3×10-8 м4, 
= 0,0227 м.
Полоса bП×dП = 18×1×10-4 м2, FП = bП×dП = 18×1×10-4 м2 = 18×10-4 м2;
м4, 
= 486×10-8 м4.
1. Определение общей площади составного сечения. Общая площадь составного сечения определяется по формуле:
F = Fшв + Fуг + FП, F = (25,2 + 12,3+18)×10-4 = 55,5×10-4 м2.
2. Определить центр тяжести составного сечения. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси xшв и yшв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:
Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:
3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести. Для определения указанных моментов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выражающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:
(3.16)
(3.17)
(3.18)
В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:
Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:
=[1670+25,2(-1,7)2 +73,4+12,3(-9,43)2 +1,5+18×(8,8)2]×10-8 = =4305,4×10-8 м4.
=[139+25,2(1,42)2 +73,4+12,3(-3,13)2+486+18(0,14)2)×10-8 ==870,1×10-8 м4.
При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что 
и 
равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а
,
где 
a - угол между осью x и главной осью x0 уголка. Этот угол может быть положительным или отрицательным. В нашем примере a = +45°, поэтому:
Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:
= [0+25,2×(-1,7)×1,42+42,85+12,3×(-9,43)(-3,13)+0+
+18×8,8×0,14]×10-8 = 367,2×10-8 м4.
4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции xC и yC определим по формуле:
.
Так как угол a получился отрицательным, то для отыскания положения главной оси максимального момента инерции u следует ось x0, осевой момент инерции относительно которой имеет наибольшее значение, повернуть на угол a по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендикулярна оси u.
5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:
Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.
1-ая проверка: Imax + Imin = 
= const;
Imax + Imin = (4344,55+830,95)×10-8=(5175,5)×10-8 м4;
= (4305,4+870,1)×10-8= (5175,5)×10-8 м4.
2-ая проверка: Imax > 
> 
> 0;
4344,55 ×10-8 > 4305,4×10-8 > 870,1×10-8 > 830,95×10-8 м4.
Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычисления моментов инерции составного сечения.
6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам:
|