5.4. Примеры расчетов

Для статически определимых систем: схемы I (консольная бал­ка, рис. 5.8, а), схемы II (двухопорная балка с консолями, рис. 5.13) и схемы III (плоской рамы в виде ломаного бруса, рис. 5.17) при последовательном их рассмотрении требуется:

1. Построить эпюры M_x и Q_y для всех схем и эпюру N_z для схемы III;

2. Руководствуясь эпюрой M_x , показать на схемах I и II приб­лизительный вид изогнутой оси балки. По опасному сечению подо­брать размеры поперечного сечения:

а) для схемы I - прямоугольное h´b при расчетном сопротив­лении R_H = 16×10³ кН/м² (клееная древесина); h:b = 1,5;

б) для схемы II - двутавровое (ГОСТ 8239-72) при расчетном сопротивлении R_H = 200×10³ кН/м² (сталь);

Решение

5.4.1. Схема I. Консольная балка (задача №6)

Учитывая особенности рассматриваемой системы (рис. 5.8, а), чтобы исключить необходимость определения опорных реакций, достаточно применяя метод сечений, последовательно рассмотреть те отсеченные части системы от заданного сечения, в котором отсутствует опорное сечение.

1. Построить эпюры Q_y и M_x. Для построения эпюр Q_y и M_x определяем количество участков, затем, используя метод сечений, составляем аналитические выражения изменения Q_y и M_xв зависимости от текущей абсциссы z для каждого участка.

Рис. 5.8

Определение количества участков балки

Границами между двумя смежными участками, как правило, являются места расположения тех сечений, где происходит скачкообразное изменение: физико-механических характеристик материала конструкций; геометрических характеристик поперечных сечений (формы и/или размеров), а также внешних нагрузок. В данном случае, рассматриваемая балка, имеющая постоянное поперечное сечение (рис. 5.8, б) имеет три участка: участок I - DС, участок II - СВ, участок III - ВА.

Составление аналитических выражений Q_y и M_xи определение значений в характерных сечениях

Проведя сечение I-I, рассмотрим равновесие правой отсечен­ной части балки длиной z₁, приложив к ней все действующие спра­ва от сечения заданные нагрузки и внутренние силовые факторы Q_y и M_x , возникающие в сечении, которые заменяют действие от­брошенной части балки (рис. 5.9). При этом, предполагаем, что изображенные на рисунке внутренние силовые факторы положи­тельны.

Составив уравнения равновесия Sy = 0 и = 0 для этой части балки и решив их, найдем выражения для и в зави­симости от z₁ на участке I (0 £ z₁ £ 1 м):

Sy = 0, = 0;

, + m = 0, = -m = -10 кН×м.

Полученные выражения показывают, что на участке I и - const. Знак “минус” у говорит о том, что момент в сече­нии I-I вызывает растяжение верхних, а не нижних волокон, как это показано на рис. 5.9.

Участок II (1 м £ z₂ £ 2 м).

Составим уравнения Sy = 0 и для отсеченной сече­нием II-II правой части балки (рис. 5.10) и определим из них и :

Sy = 0, кН;

, + m - P(z₂ - 1) = 0, = -m + P(z₂ - 1) .

Из полученных выражений для и видно, что на уча­стке II величина постоянна, а величина изменяется в за­висимости от z₂ по закону прямой линии. Знак “минус” у показывает, что в сечении II-II возникает поперечная сила, дейст­вующая в направлении, обратном показанному на рис. 5.10.

Теперь, подставляя значения z₂ для характерных сечений участ­ка II в полученные аналитические выражения, определим величи­ны и , возникающие в этих сечениях, т.е. ординаты эпюр M_x и Q_y в точках С и В (рис. 5.8, б).

при z₂ = 1 м; = -30 кН; = -10 + 30(1 - 1) = -10 кН×м;

при z₂ = 2 м; = -30 кН; = -10 + 30(2 - 1) = 20 кН×м.

Участок III (2 м £ z₂ £ 4 м).

Составим уравнения равновесия Sy = 0 и для отсе­ченной сечением III-III правой части балки (рис. 5.11) и, решив их, получим,

Sy = 0, ;

, + m - P(z₃ - 1) + 0,5q(z₂ - 2)² = 0,

= -m + P(z₃ - 1) - 0,5q(z₂ - 2)² .

Таким образом, вели­чина на участке III изменяется по закону прямой линии, а вели­чина - по закону квадратной параболы.

Подставив значения z₃ , соответствующие харак­терным сечениям участ­ка, в аналитические вы­ражения изменения и , определим координаты эпюр для сечений В и А (рис. 5.8, б).

При z₃ = 2 м = -30 + 20×(2 - 2) = - 30 кН;

= -10 + 30(2 - 1) - 0,5×20×(2 - 2)² = 20 кН×м.

При z₃ = 4 м = -30 + 20×(4 - 2) = 10 кН;

= -10 + 30(4 - 1) - 0,5×20×(4 - 2)² = 40 кН×м.

Так как, поперечная сила в пределах участка меняет знак, т.е. имеет промежуточное нулевое значение (рис. 5.8, в), то в этом се­чении возникает экстремальное значение изгибающего момента. Для определения его величины вначале найдем значение z₀ , при котором = 0. Для этого, приравняв выражение для нулю, получим:

-P + q(z₀ - 2) = 0, м.

Подставив найденное значение z₀ = 3,5 м в аналитическое вы­ражение изменения , вычислим величину M_max:

кН×м.

Построение эпюр Q_y и M_x для всей балки

Отложив перпендикулярно к оси абсцисс (линии, параллельной оси балки) в удобном для пользования масштабе вычисленные зна­чения Q_y и M_x в характерных и промежуточных сечениях каждого участка и соединяя концы полученных ординат линиями, соответ­ствующими законам изменения Q_y и M_x на каждом участке, по­строим эпюры Q_y и M_x для всей балки (рис. 5.8, в, г). При этом положительные ординаты эпюры Q_y откладываются вверх, а отри­цательные - вниз по оси абсцисс. Ординаты же эпюр M_x отклады­ваются со стороны растянутого волокна. На эпюрах Q_y обязательно указываются знаки, а на эпюре M_x знаки можно не ставить.

Проверка правильности построения эпюр Q_y и M_x

Для этого необходимо вначале проверить соответствие эпюры Q_y эпюре M_x согласно дифференциальной зависимости , из которой следует, что эпюра Q_y представляет собой эпюру тангенсов угла наклона касательных эпюры M_x к оси балки. В самом деле, на участке II балки (рис. 5.8, г) тангенс угла наклона касательной эпюры M_x к оси балки (рис. 5.12) равен:

кН.

При этом, знак поперечной силы будет положительным, если угол образован вращением оси балки или элемента системы по хо­ду часовой стрелки, и отрицательным, если угол образован враще­нием этой оси против часовой стрелки до совмещения с эпюрой M_x .

В рассматриваемом примере угол a образован вращением оси балки против часовой стрелки, поэтому поперечная сила на этом участке будет отрицательной. После указанной проверки полезно также проверить выполнение следующих положений:

1. Эпюра M_x на участке между сосредоточенными силами, а также между сосредоточенными силой и моментом, и между нача­лом или концом действия равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенными силой и моментом всегда изменяется по закону прямой линии, наклонной к оси элемента, а в пределах действия равномерно распределенной нагрузки по закону квадратной пара­болы, имеющей выпуклость в сторону ее действия, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;

2. Под точкой приложения сосредоточенной силы эпюра M_x имеет излом, острие которого направлено в сторону действия силы, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;

3. На эпюре M_x в месте действия сосредоточенного момента m имеет место скачок, равный его величине;

4. Над шарнирными опорами двухшарнирной балки изгибаю­щий момент может быть только в тех случаях, когда в опорных се­чениях приложены сосредоточенные моменты или когда на консо­лях, расположенных за опорами, приложены нагрузки. Во всех других случаях изгибающие моменты в шарнирах равны нулю;

5. На участке действия равномерно распределенной нагрузки изгибающий момент достигает экстремального значения M_x =
= M_max в том сечении, где поперечная сила , т.е. пере­ходит через нуль, меняя знак;

6. Поперечная сила Q_y на участке равна нулю, если во всех се­чениях по длине этого участка M_x = const;

7. Эпюра Q_y постоянна на участках между сосредоточенными нагрузками и изменяется по закону наклонной прямой лишь на участках, где действует равномерно распределенная нагрузка;

8. Эпюра Q_y в точках приложения сосредоточенных вертикаль­ных сил (Р, R_A , R_B) имеет скачки, равные по величине приложен­ным в этих сечениях сосредоточенным силам, причем направление скачков всегда совпадает с направлением этих сил.

В нашем примере все эти положения выполняются.

2.1. Руководствуясь эпюрой M_x, показать приблизи­тельный вид изогнутой оси балки. При построении при­близительного вида изогнутой оси балки по эпюре M_x необходимо знать, что знак изгибающего момента связан с характером дефор­мации балки от действия заданной внешней нагрузки. Если на участке балки изгибающий момент положителен, то балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, а если отрицателен - выпук­лостью вверх. В тех же сечениях, где изгибающий момент равен нулю, кривизна балки меняет свой знак, т.е. ось балки в этих сече­ниях имеет точки перегиба. При этом всегда следует помнить, что прогибы балки на опорах равны нулю.

Анализируя эпюру M_x (рис. 5.8, г), видим, что на участке АО растянуты нижние волокна, значит, на этом участке изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. На участке ОД растянуты верхние волокна, поэтому изогнутая ось балки на этом участке будет иметь выпуклость вверх. Таким образом, под точкой О, где M_x = 0, кривизна изогнутой оси балки меняет знак, т.е. упругая линия имеет в этом сечении точку перегиба. Учитывая это, строим приблизительный вид изогнутой оси балки (рис. 5.8, д).

2.2. Подбор поперечного сечения балки. Опасным сече­нием является то, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. В нашем примере опасным является сечение Е, где M_max = 42,5 кН×м. Прямоугольное сечение балки из клееной древесины подбираем из условия прочности при рас­четном сопротивлении R_H = 16×10³ кН/м² и соотношения h/b = 1,5:

,

откуда требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе будет равен:

= 2,66×10^{-3 м3}.

Момент сопротивления прямоугольного сечения равен:

.

Приравняв его , получим =
= 0,288 м, тогда:

0,192 м.

Округляя, принимаем брус поперечным сечением h´b = 0,29´ ´0,19 м², (W_x = 2,663×10^-3м³).

5.4.2. Схема II. Двухопорная балка (задача № 7)

1. Построить эпюры Q_y и M_x. Существенное отличие этой схемы (рис. 5.13, а) от предыдущего примера расчета (рис. 5.8, а) заключается в том, что при рассмотрении однопролетной консоль­ной балки, для определения внутренних силовых факторов с при­менением метода сечений, мы последовательно рассматривали рав­новесие той части системы, где отсутствовало опорное сечение. Данное обстоятельство позволило без предварительного определе­ния опорных реакций, вычислить значения внутренних усилий. Так как этот прием, в данном случае, нереализуем, поэтому предвари­тельно необходимо определить полную систему внешних сил, кото­рая включает заданную систему и все опорные реакции.

Определение опорных реакций

При общем случае нагружения в заданной системе возникают три опорные реакции. Однако, учитывая особенности характера на­гружения, т.е. все внешние силы направлены по оси y, поэтому можно утверждать, что горизонтальная опорная реакция в опорном сечении А в данном случае равна нулю. Вертикальные опорные реакции могут быть определены из условий SM_A = 0; SM_B = 0.

Необходимым и достаточным условием проверки правильности определения вертикальных опорных реакций является Sy = 0, т.к. это уравнение статики, применительно к рассматриваемой системе, которое содержит все искомые опорные реакции.

Из SM_A = 0 получим:

SM_A = -Р×1 + q×5×4,5 - m - R_B×6 = 0,

откуда

кН.

Из уравнения SM_B = 0 будем иметь:

SM_B = -P×7 - m - q×5×1,5 + R_A ×6 =0; R_A= 40 кН_.

Опорные реакции R_A и R_B получились положительными. Это означает, что выбранные направления совпадают с их действитель­ными направлениями. После определения опорных реакций сле­дует провести проверку правильности их вычисления.

Рис. 5.13

Sy = -P - q×5 + R_A + R_B = 0; -10 - 20×5 + 40 + 70 = 0;

-110 + 110 = 0; 0 = 0.

Удовлетворение этого уравнения говорит о правильности вы­числения величин и направления опорных реакций.

Определение количества участков

Учитывая, что границами участков являются точки приложения внешних сил и опорных реакций, а также сечения, где распределенная нагрузка меняется скачкообразно. Поэтому заданная балка имеет че­тыре участка: I участок - КА; II участок - АС; III участок - СВ и IV участок - ВD (рис. 5.13, б).

Составление аналитических выражений Q_y, M_xи определение значений их в характерных сечениях каждого участка

Поместив начало системы координат в центре тяжести крайнего левого поперечного сече­ния балки, и рассекая ее в пределах участка I, рассмотрим равнове­сие левой части балки длиной z₁ (рис. 5.14, а). Составив уравнения равновесия Sy = 0 и для этой части, найдем аналитиче­ские выражения изменения Q_y и M_x на участке I, где z₁ изменяется в пределах 0 £ z₁ £ 1 м:

Рис. 5.14

Sy = 0, - - P = 0, = -P (постоянная величина);

, - - P×z₁ = 0, = -P×z₁ (уравнение прямой линии).

Знак “минус” у говорит о том, что в этом сечении возни­кает поперечная сила, действующая в направлении, обратном показанному на рис. 5.14, а, а у - что в сечении будет возникать изгибающий момент, растягивающий верхние волокна, а не ниж­ние, как показано на рис. 5.14, а. Для определения величин и в характерных сечениях этого участка подставим значения z₁ в полученные аналитические выражения:

при z₁ = 0 = -10 кН, = -10×0 = 0;

при z₁ = 1 м = -10 кН, = -10×1 = -10кН×м.

Проведя сечение в пределах участка II, рассмотрим равновесие левой отсеченной части балки (рис. 5.14, б) и из уравнений равно­весия Sy = 0 и найдем аналитические выражения для и на этом участке, где z₂ изменяется в пределах 1 м £ £ z₂ £ 3 м:

Sy = 0, - - P + R_A = 0, = R_A - P (постоянная величина);

, - - P×z₂ + R_A (z₂ - 1) = 0,

= R_A (z₂ - 1) - P×z₂ (уравнение прямой линии).

Подставив в полученные выражения значения z₂ , соответству­ющие граничным сечениям участка II, определим величины и , возникающие в этих сечениях:

при z₂ =1м = 40 - 10 = 30 кН,

= 40×(1 - 1)-10×1 = -10 кН×м;

при z₂ = 3 м = 30 кН, = 40×(3 - 1) - 10×3 = 50 кН×м.

Сделав сечение в пределах участка III, составив и решив урав­нения равновесия Sy = 0 и для левой отсеченной части (рис. 5.15), получим аналитические выражения изменения Q_yи M_x на участке III, где z₃ изменяется в пределах 3 £ z₃ £ 7 м:

Sy = 0, - - P + R_A - q×(z₃ - 3) = 0,

= R_A - P - q×(z₃ - 3) -уравнение прямой;

, ,

- уравнение параболы.

Теперь найдем и в граничных сечениях С и В уча­стка III: при z₃ =3м = 40 - 10 -
- 20×(3- 3) = 30 кН,

= 40×(3 - 1)-10×3 - = -50 кН×м;

при z₃ = 7 м = 40 - 10 - 20×(7 - 3) = -50 кН,

= 40×(7 - 1) - 10×7 - = 10 кН×м.

Как видно, поперечная сила на этом участке принимает в некотором сечении нулевое значение и меняет знак при прохож­дении через него (рис. 5.13, в). Поэтому в сечении, где =
= 0, будет экстремальное значение изгибающего момента. Для его определения найдем величину z₀ , при котором = 0. Приравняв выражение для к нулю, получим:

R_A -P - q×(z₀ - 3) = 0, м.

Подставив найденное значение z₀ = 4,5 м в выражение для , найдем величину экстремального значения изгибающего мо­мента на этом участке M_max = 72,5 кН×м.

Для получения аналитических выражений изменения Q_y и M_x на участке IV целесообразно начало координат перенести в сечение D и рассматривать равновесие правой отсеченной части, т.к. в этом случае вследствие меньшего количества внешних сил, приложенных к правой части балки, аналитические выражения будут проще по своему виду, а вычисление ординат менее трудоемко.

Аналитические выражения и на участке IV (рис. 5.16) (0 £ z₄ £ £ 1 м) получим из следующих уравне­ний:

Sy = 0, - - q×z₄ = 0, = q×z₄ - (прямая линия);

, , - (парабола).

В граничных сечениях D и В участка IV ординаты эпюр Q_y и M_x :

при z₄ = 0 = 0, = 20 кН×м;

при z₄ = 1 м = 20×1 =20 кН, кН×м.

Так как величина на участке IV изменяется по закону квадратной параболы, то для уточнения ее очертания надо опреде­лить ординату эпюры M_x в каком-нибудь промежуточном сечении. Например, при z₄ = 0,5 м, где ордината будет равна:

кН×м.

Построение эпюр Q_y и M_x для всей балки

Откладывая перпендикулярно от оси абсцисс в удобном для пользования масштабе значения Q_y и M_x , возникающие в харак­терных и промежуточных сечениях каждого участка, и соединяя концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Q_y и M_x на этих участках, строим эпюры Q_y и M_x для всей балки (рис. 5.13, в, г).

2.1. Руководствуясь эпюрой M_x показать приблизи­тельный вид изогнутой оси балки. Анализируя эпюру M_x (рис. 5.13, г) видим, что на участке КО растянуты верхние волокна, и поэтому на этом участке изогнутая ось балки будет иметь вы­пуклость вверх. На участке ОD растянуты нижние волокна, и изо­гнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. Вследствие этого под т. О, где M_x = 0, будет точка перегиба. Учитывая все сказанное и то, что прогибы в опорных сечениях равны нулю, строим при­близительный вид изогнутой балки (рис. 5.13, д).

2.2. Подбор поперечного сечения балки. Опасным явля­ется сечение Е, где возникает наибольший по абсолютной величи­не M_max = 72,5 кН×м. Двутавровое сечение балки подбираем из ус­ловия прочности при изгибе при расчетном сопротивлении мате­риала R_H = 200×10³ кН/м² (сталь):

.

Откуда требуемый момент сопротивления W_x равен:

м³ .

По сортаменту (ГОСТ 8239-72) принимаем двутавр № 27 с W_x = 37,1×10^-5 м³. В этом случае при проверке прочности получа­ется недонапряжение, но оно будет меньше 5, что допускается СНиП при практических расчетах.

5.4.3. Схема III. Плоская рама (задача № 8)

Заданная плоская стержневая система (рис. 5.17, а), элементы которой представляют собой прямолинейные стержни, жестко сое­диненных между собой, называется рамой. При произвольном характере нагружения, в поперечных сечениях элементов заданной системы возникают следующие три силовых фактора: поперечная сила Q, изгибающий момент M и продольная сила N. Главной от­личительной особенностью рамной системы от других стержневых систем является то, что в деформированной состоянии угол сопря­жения между различными элементами равен углам сопряжения элементов до нагружения системы.

Правило знаков для Q_y , M_x и N_z и порядок построения их эпюр для таких систем остаются прежними.

Так как заданная система имеет только три внешние связи (вертикальную и горизонтальную в т. D и горизонтальную в т. А), следовательно, при общем характере нагружения возникает всего три опорные реакции. Как нам уже известно, для плоских систем можно воспользоваться только тремя уравнениями равновесия ста­тики для определения опорных реакций, поэтому заданная система является статически определимой.

Рис. 5.17

Построить эпюры Q_y, M_x и N_z.

Определение опорных реакций. Составив уравнения равновесия для всей рамы и решив их, получим:

Sy = 0, R_D = 0;

SM_D = 0, -H_A ×8 + Р×4 + q×4×2 = 0, кН;

SM_A = 0, H_D ×8 - Р×4 - q×4×6 = 0, кН.

Проверка: Sx = 0; H_A + H_D - Р - q×4 = 0;

4 + 8 - 4 - 2×4 = 0; 12 - 12 = 0; 0 = 0.

Уравнение равновесия превращается в тождество, что говорит о правильности вычисления опорных реакций.

Определение количества участков

Так как, в рамах границами участков являются точки приложе­ния сил и точки изменения направления оси элементов системы, то заданная система имеет три участка: участок I - АВ, участок II -ВС, участок III - СD (рис. 5.13, б).

Составление аналитических выражений Q_y, M_xи N_z и оп­ределение их значений в характерных сечениях каждого участка

Определение внутренних силовых факторов в сечениях рам производится также с помощью метода сечений. Однако при вы­полнении разрезов всегда следует выяснить, какую из частей рамы считать левой, а какую правой. Для этого предполагают, что обход рамы ведется слева направо, т.е. от А к В, от В к С, от С к D. При этом наблюдение ведут с нижней стороны участков, находясь ли­цом к оси участков.

Участок I (0 £ z₁ £ 4 м) (рис. 5.18).

Проведя сечение в пределах этого участка, рассмотрим равновесие левой отсеченной час­ти длиной z₁ . Составив уравнение равновесия Sy = 0 и и Sz = 0 для этой части и решив их относительно , и , полу­чим аналитические выражения изменения Q_y , M_x и N_z на участке I:

Sy = 0, -H_A - =0, = - H_A - const;

, - H_A×z₁ - = 0, = - H_A×z₁ -уравнение прямой;

Sz = 0, = 0 - нормальная сила отсутствует.

Величины Q_y , M_x и N_z в граничных сечениях участка будут равны:

при z₁ = 0 = -4 кН, = 0, = 0;

при z₁ = 4 м = -4 кН, = -4×4 = -16кН×м, = 0.

Участок II (0 £ z₂ £ 4 м) (рис. 5.19).

Сделав сечение в пределах этого участка, составим уравнения равнове­сия для левой части:

Sy = 0, = 0;

, - - H_A×4 = 0,
= - H_A×4 = -4×4 = -16 кН×м;

Sz = 0, H_A + = 0, = - H_A = -4 кH.

Знак “минус” перед говорит о том, что элемент ВС сжат, а не растянут. Из полученных уравнений видно, что на участке II по­перечная сила равна нулю, а изгибающий момент и нормальная сила постоянны.

Участок III (0 £ z₃ £ 4 м) (рис. 5.20). Приняв начало координат в сечении D и сделав разрез в пределах этого участка, рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиной z₃ . Составив урав­нения равновесия Sy = 0; = 0 и Sz = 0 и решив их, полу­чим:

Sy = 0, - H_D + q×z₃ = 0,
= H_D - q×z₃ - уравнение прямой.

, + H_D ×z₃ - ,

= -H_D ×z₃ + - уравнение квадрат­ной параболы;

Sz = 0, N_z= 0.

Ординаты эпюр найдем из полученных выражений, подставив в них значения z₃ , соответствующие граничным сечениям участка:

при z₃ = 0 = 8 кН, = 0, = 0;

при z₃ = 4 м = 8 - 2×4 =0, = -8×4 + = -16 кН×м, = 0.

Для уточнения очертания квадратной параболы определим величину при z₃ = 2 м:

кН×м.

Построение эпюр Q_y , M_x и N_z для бруса с ломанной осью (рамы)

Отложив в масштабе перпендикулярно к оси каждого элемента рамы полученные значения Q_y, M_x, N_z в граничных и проме­жуточных сечениях участка и соединяя концы ординат линиями, соответствующими выражениям Q_y, M_x и N_z , строим их эпюры (рис. 5.17, в, г, д).

Правильность построения эпюр внутренних усилий подтверж­дается на основе статической проверки, заключающейся в том, что условия равновесия рамы (Sx º 0; Sy º 0; SM º 0;), как в целом, так и любой ее отсеченной части, под воздействием внешних нагрузок и усилий, возникающих в проведенных сечениях, соблюдаются тождественно.