5.7. Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При попе­речном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси по­лучают поперечные перемещения, а поперечные сечения соверша­ют повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона j, каса­тельной к изогнутой оси балки (рис. 5.23).

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями коор­динаты z и их опре­деление необходимо для расчета жест­кости. Рассмотрим изгиб стержня в од­ной из главных пло­скостей например, в плоскости yz. Как показывает практи­ка, в составе реаль­ных сооружений стержни испытыва­ют весьма малые искривления (y_max/l = 10^-2 - 10^-3, где y_max - мак­симальный прогиб; l - пролет балки).

В этом случае неизвестными функциями, определяющими по­ложение точек поперечных сечений балки являются y(z) и j(z) = = a(z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по дли­не балки образуют две функции от координаты z - функцию пере­мещений y(z) и функцию углов поворота j(z). Из геометрических построений (рис. 5.23) наглядно видно, что угол наклона каса­тельной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

. (5.17)

Из курса математического анализа известно, что кривизна пло­ской кривой y(z) выражается следующей формулой:

.

Если рассмотреть совместно соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

. (5.18)

Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное диф­ференциальное соотношение

, (5.19)

где I_x - момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е - модуль упругости материала; EI_x - изгиб­ная жесткость балки.

Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чис­того изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_x (z) имеет по­стоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равно­сильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота попе­речного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно по­логой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точ­ности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значе­ния в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y(z) и углов поворота j(z), необходимо решить уравнение (5.19), с уче­том граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (5.19), записанное для каждого участка, после интегрирования, со­держит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных ин­тегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_x (z) и EI_x (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования урав­нения (5.19) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

Здесь C₁ и С₂ произвольные постоянные интегрирования долж­ны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно при­менить метод начальных параметров, суть которого в сле­дующем.

Рассмотрим балку (рис. 5.24) с постоянным поперечным сече­нием, нагруженную вза­имоуравновешенной си­стемой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикаль­ные перемещения сече­ний балки в положи­тельном направлении оси y). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось z проходила вдоль оси балки, а ось y была бы направлена вверх. На балку действуют: момент М, сосре­доточенная сила Р и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 5.24).

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вноси­мые в уравнение упругой линии, различными типами внешних си­ловых факторов. Для этого составим выражение изгибающих мо­ментов для каждого из пяти участков заданной системы.

Участок I ( 0£ z £ l₁ ) M_{x (z)} = 0.

Участок II (l₁ £ z £ l₂ ) M_{x (z)} = M.

Участок III (l₂ £ z £ l₃ ) M_{x (z)} = M + P(z - l₂).

Участок IV (l₃£ z £ l₄) M_{x (z)} = M + P(z - l₂) + .

Уч-ток V(l₄ £ z £ l₅) M_{x (z)} = M + P(z - l₂) + .

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего мо­мента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z > l_i и иг­норировать при z £ l_i . На основании этого, обобщенное выражение момента M_x (z) для произвольного сечения z может быть записано единой формулой:

M_x (z) = M + P(z - l₂) + -

. (5.20)

Подставляя (5.20) в (5.19) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

EI_xy(z) = C₀ + C₁ z + +

+ - . (5.21)

Постоянные интегрирования C₀ и C₁ по своей сути означают:

C₀ = EI_xy(0) , C₁ = (5.22)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

EI_xy(z) = EI_xy₀ + z + + +

+ - . (5.23)

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

EI_xj(z) = + +

+ - . (5.24)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба y₀ , угла поворота j₀ в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.