5.8. Пример расчета (задача № 10)

Для схем стальных балок I и II, изображенных на рис. 5.25 и 5.26, определить методом начальных параметров углы поворота се­чения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 2×10⁸ кН/м². По­перечные сечения балок: схема I - круглое диаметром d = 0,24 м, схема II - квадратное со стороной a = 0,2 м.

Решение

Схема I.

1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.25)

Sy = 0, R₀ + q×c - P = 0, R₀ = -q×c + P = -10×1,4 + 12 = -2 кН;

SM₀ =0, ,

M₀ = qc(b + 0,5c) - M - P(b + c + e) = 10×1,4×(1,8 + 0,5×1,4) -

- 20 - 12×(1,8 + 1,4 + 1,2) = -37,8 кН×м.

Рис. 5.25

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнения равновесия:

åM_D = 0, M₀ + R₀×4,4 + q×c×(0,5×c + e) + M = -37,8 - 2×4,4 +

+ 10×1,44×(0,5 1,4 + 1,2) + 20 = 46,6 - 46,6 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров. Исполь­зуя уравнение (5.23), для нашего случая запишем:

EI_xy(z) = EI_xy₀ + z + -

- + .

Здесь M₀ и Q₀ - момент и реакция в заделке (т.е. в начале коор­динат). Знак ½_{z > a} означает, что слагаемое, после которого он сто­ит, нужно учитывать при z > a и не надо - при z £ a. Начальные параметры имеют значения: y₀ = 0; j₀ = 0; M₀ = -37,8 кН×м, R₀ =
= -2 кН (знак реакций определяется по знаку перемещения выз­ванного этими усилиями). Тогда выражение для определения про­гибов будет иметь вид:

EIy(z) = - - +
+ .

Соответственно выражение для определения углов поворота бу­дет:

=-37,8×z - z² + - +
+ 20×(z - 3,2) .

С помощью этих выражений определяем y_D и j_D:

кН×м³.

кН×м².

Жесткость сечения при Е = 2×10⁸ кН/м² равна:

кН×м².

Тогда, окончательно:

Прогиб точки D происходит вниз, а сечение поворачивается по часовой стрелке.

Схема II.

Рис. 5.26

1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.26).

SM₀ =0, R_B (b + c + e) - q×(c + e)×[b + 0,5×(c + e)] + M + Pb = 0,

= кН;

SM_B=0, R₀ (b + c + e) - 0,5×q×(c + e)² - M + P×(c + e) = 0,

кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнение равновесия сил по оси y:

Sy=0; R₀ +R_B+P - q(c + e) = 7,86 + 14,14 + 8 - 10×3 = 30 - 30 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров. Исполь­зуя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запи­шем:

Из условий закрепления балки при z = 0 имеем: y₀ = 0; М₀=0.

Подставляя числовые значения, получим:

.

В данном выражении неизвестно j₀. Из условия закрепления балки при z = b + c + e имеем, что y = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения j₀:

.

Отсюда EIj₀ = -20,84 кН×м². Теперь выражение для определе­ния прогибов будет иметь вид:

.

Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:

.

С помощью этих выражений определяем y_D и j_D:

кH×м³.

кН×м².

Вычисляем жесткость сечения (Е = 2×10⁸ кН/м²):

кН×м².

Тогда, окончательно,

рад.