5.9. Косой изгиб

Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относи­тельно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в попереч­ном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента от­носительно этих осей (рис. 5.27, б):

M_x = M×sina; M_y = M×cosa. (5.25)

Введем следующее правило знаков для моментов M_x и M_y-
момент считается положительным, если в первой четверти коорди­натной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

Рис. 5.27

На основании принципа независимости действия сил нормаль­ное напряжение в произвольной точке, принадлежащей к попереч­ному сечению бруса и имеющей координаты x, y, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами M_x и M_y, т.е.

. (5.26)

Подставляя выражения M_x и M_y из (5.25) в (5.26), получим:

.

Из курса аналитической геометрии известно, что последнее вы­ражение представляет собой уравнение плоскости. Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напря­жения s, то концы векторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.

Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) s = 0:

.

Откуда определяется:

. (5.27)

Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегда проходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении воз­никают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.

Далее покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, как это всегда выполнялось при поперечном изгибе. Действительно угловой коэффициент K₁ следа момента (рис. 5.27, б) равен:

K₁ = tga. (5.28)

Угловой же коэффициент нейтральной линии, как это следует из (5.27), определяется выражением:

tgj = K₂ . (5.29)

Так как в общем случае I_x ¹ I_y, то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку K₁ ¹ . Брус, образно выражаясь, предпочитает изги­баться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальной.