5.11. Внецентренное растяжение и сжатие

Внецентренное сжатие и растяжение как и косой изгиб отно­сится к сложному виду сопротивления бруса. При внецентренном растяжении (сжатии) равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, как при простом растяжении, а смещена относи­тельно оси z и параллельна ей (рис. 5.31).

Пусть в точке А(x_A, y_A) приложена равнодействующая внешних сил Р. Тогда относительно главных осей x и y равнодействующая сила Р вызывает моменты:

M_x = P×y_A; M_y = P×x_A.(5.34)

Таким образом, при внецентренном растяжении (сжатии) в по­перечном сечении бруса возникает нормальная сила N_z=P и изги­бающие моменты M_x и M_y . Следовательно, на основании принци­па независимости действия сил в произвольной точке В с коорди­натами x, y нормальное напряжение s определяется следующим выражением:

. (5.35)

Используя выражения для квадратов радиусов инерции сече­ния:

можно (5.35) преобразовать к следующему виду:

Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю вы­ражение для нормальных напряжений s:

. (5.36)

Из (5.36) можно легко определить отрезки, которые отсекает нейтральная линия на координатных осях. Если приравнять x = 0, то получим:

.

где a_y- координата точки пересечения нейтральной линии и оси y.

Решая это уравнение, получим:

.

Аналогичным образом можно определить координату пересече­ния нейтральной линии и оси x:

.

Можно решить и обратную задачу - определить координаты приложения силы Р при заданных отрезках а_x и а_y . Опуская про­стейшие выкладки, приведем окончательные выражения:

.

Наибольшее напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке наиболее удаленной от нейтральной линии. При внецент­ренном растяжении (сжатии) в отличие от косого изгиба нейтраль­ная линия не проходит через центр тяжести сечения. Расстояние от начала координат x0y до прямой ay + bx + c = 0, как известно из курса аналитической геометрии, определяется по фор­муле:

.

Следовательно, в данном случае (рис. 5.32):

(5.37)

Тогда, как это следует из (5.37), по мере того, как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.

При x_A® 0, y_A® 0, получаем 0C ® ¥. Сила в данном случае стано­вится центральной, а напряжения в этом случае распределены по сечению равно­мерно. В тех случаях, когда нейтральная линия пересекает сечение, в нем возникают напряжения разного знака. В противном случае в сечении во всех точках возникают напряжения одного знака. Следовательно, в окрестности центра тяжести всегда существует некая область, называемая ядром сечения, такая, что если точка приложения силы Р расположена в пределах указанной области, то в поперечном сечении возникают напряжения лишь одного знака. При этом если сила приложена по границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контура сечения.

Данный факт имеет большое значение при проектировании колонн из хрупких материалов, (например, бетона, кирпича и т.д.), которые, как пра­вило, имеют существенно меньшую прочность на растяжение, не­жели на сжатие. Поэтому при проектировании таких конструкций необходимо предусмотреть, чтобы равнодействующая сжимающая сила была расположена в пределах ядра сечения.