7.4. Пример расчета (задача № 15)

Заданную стойку двутаврового (№30) поперечного сечения цен­трально сжатую силой Р (рис. 7.6, а), рассчитать на устойчивость, а также указать поло­жительные и отри­цательные стороны конструкции этой стойки. В целях ми­нимизации расходов материальных ресур­сов можно заменить двутавровое сечение стойки более рацио­нальным сечением из двух швеллеров, соединенных план­ками на сварке (рис. 7.6, б). Подо­брать сечения из двух швеллеров и сравнить результаты по площади с сечением из двутавра. Материал стоек - сталь Ст.3, расчетное сопротивление при растяжении R = 1,9×10⁵ кПа.

Решение

1. Расчет на устойчивость стойки из двутавра. Проверка устойчивости сжатых стержней производится по формуле (7.19). Из сортамента ГОСТ 8239-72 выписываем необходимые дан­ные для двутавра №30: F = 46,5×10^-4 м²; i_x = 0,123 м; i_y = 0,0269 м.

Тогда из формулы (7.19) имеем:

Р = jFR. (7.20)

Для нахождения величины j нужно знать максимальную гиб­кость стойки, которая определится из формулы

,

где l₀ - приведенная (свободная) длина стойки, l₀ = ml. Здесь m -коэффициент приведенной длины, зависящий от способа закрепле­ния концов стойки (для нашего примера m = 0,5), l - длина стойки; i_min -минимальный радиус инерции сечения стойки (в данном слу­чае - радиус инерции относительно оси y). Таким образом,

.

По табл. 5 находим j при l = 55,76, интерполируя до третьего знака после запятой:

при l = 50 j = 0,89;

при l = 60 j = 0,86.

Поэтому при l = 55,76

Подставляя значения F, j и R в формулу (7.20), получим допус­тимое значение сжимающей силы с точки зрения устойчивости рассматриваемой стойки:

Р = 0,873×46,5×10^-4×1,9×10⁵ = 771 кН.

Преимуществом стойки из двутавра является простота конст­рукции и малая трудоемкость изготовления и монтажа, недостат­ком - неравная устойчивость в разных плоскостях.

2. Подбор сечения стойки из двух швеллеров. При рассмотрении этого вопроса составное сечение стойки следует рас­сматривать как цельное, и поэтому расчет приведенной гибкости можно не выполнять. Подбор составного сечения стойки будем производить путем последовательного приближения. Для этого за­даемся произвольным значением j, подбираем сечение и сопостав­ляем возникающие в нем напряжения с расчетным сопротивлени­ем. Эта операция производится до тех пор, пока напряжение, возникающее в стойке, будет достаточно близким к расчетному сопротивлению (отклонение не должно превышать ± 5).

Примем j = 0,6. Из (7.20) определим требуемую площадь F сечения двух швеллеров:

По ГОСТ 8240-72 принимаем швеллер № 24а, для которого

.

Для обеспечения равноустойчивости стойки из двух швеллеров нужно, чтобы гибкость ее была примерно одинаковой в обеих плоскостях. Для принятого сечения из двух швеллеров определим максималь­ную гибкость:

.

По табл. 5 находим значение j для полученной гибкости:

при l = 10 j = 0,99;

при l = 20 j = 0,97.

Для l = 15,24:

; F = 2F_шв= 0,00658 м².

Определяем напряжение в стойке:

кПа £ R.

Недонапряжение составляет

Необходимо уменьшить сечение стойки. Принимаем стойку из швеллеров № 20 (F_шв = 0,00234 м²; i_x = 0,0807 м). Определим гибкость:

По табл. 5 для l = 18,59 находим: j = 0,973, и учитывая, что F = 2F_шв = 0,00468 м², получим:

кПа £ R.

Недонапряжение составляет

Принимаем стойку из швеллеров №18 (F = 0,00207 м²; i_x =
= 0,0724 м), гибкость которой принимает значение:

По табл. 5 для l = 20,72 находим: j = 0,973; F = 0,0414 м²:

кПа.

Перенапряжение составляет

,что допустимо.

Окончательно принимаем стойку из двух швеллеров №18. Из сортамента ГОСТ 8240-72 выписываем необходимые данные:

I_x = 1090×10^-8 м⁴, I_y=86×10^-8 м⁴, z₀ =0,0194 м, h=0,18 м, b =0,07м.

Момент инерции поперечного сечения стойки из двух швелле­ров относительно оси x: Момент инерции составного сечения относительно оси y можно изменять, сближая или удаляя швеллеры один относительно другого. Определим расстояние между швел­лерами из условия, что I_y = 1,2×I_x . Из рис. 7.6, б имеем с = а +2×z₀ ,где а - расстояние между собственными осями y каждого из швеллеров. Тогда:

,

отсюда

м.

Монтажное расстояние между швеллерами будет с = а + 2×z₀ = = 0,1537 + 2×0,0194 = 0,1925 м, принимаем c = 0,192 м. Сравнивая сечение из двух швеллеров с заданным двутавровым, видим, что площадь заданного сечения составляет 46,5×10^-4 м², а полученного из двух швеллеров - 41,4×10^-4 м². Таким образом, расход металла на стойку из двух швеллеров (без учета металла на соединительные планки) будет меньше в 46,5/ 41,4 = 1,12 раза, или на 12, чем на стойку из одного двутавра.

Однако конструкция стойки из двух швеллеров трудоемка в изготовлении по сравнению со стойкой из двутавра. Экономиче­ское преимущество подобранного сечения стойки, состоящего из двух швеллеров, по сравнению с двутавром, объясняется более ра­циональным распределением ее изгибных жесткостей в различных направлениях. Это приводит к выравниванию значений моментов инерции относительно главных центральных осей инерции сечения и тем самым, к равноустойчивости стойки в указанных направле­ниях.