8.2. Колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.2. Пренебрегая массой и продольными деформациями консольного бруса, рассмот­рим колебания массы m, закрепленной на свободном конце бруса, при действии силы Р(t), изменяющейся по гармоничному закону по времени t :

Р(t) = Р_0×sinwt, (8.1)

где Р₀ - амплитуда или максималь­ное значение силы Р(t), а w -кру­говая частота ее изменения.

При составлении уравнения движения массы m введем в рас­смот-рение силу инерции P_ИН =-m , силу сопротивления Р_C=-a , всегда направленную про­тив движения системы (где a -коэффициент затухания) и внеш­нюю силу Р(t). Перемещение y(t) в любой момент времени можно определить из уравнения:

. (8.2)

где d₁₁ - перемещение массы m по вертикали под действием верти­кальной единичной силы.

Отметим, что природа сил сопротивления может быть резуль­татом сопротивления внешней среды или внутреннего трения, воз­никающего в частицах материала конструкции при деформации системы. Принимаем обозначения:

, (8.3)

где j - частота собственных колебаний конструкции, n - коэффи­циент затухания. Тогда уравнения движения (8.2) принимает следу­ющий вид:

. (8.4)

Решение (8.4) при начальных условиях t = 0, y = y₀, , с учетом n < j, принимает вид:

. (8.5)

Здесь приняты следующие обозначения:

- амплитуда собственных колебаний системы;

- собственная частота колебаний системы с учетом сил затухания; - сдвиг фазы по времени, возникающий при собственных и вынужденных колеба­ниях, соответственно;

(8.6)

- называется коэффициентом динамичности, он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статиче­ского перемещения, вызванного максимальным значением возму­щающей статической силы.

График b в зависимости от отношения частот и параметра зату­хания n приведен на рис. 8.3. Откуда следует, что при w ® j Р₀×d₁₁×b, т.е. амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при n ® 0, w ® j, получаем Р₀×d₁₁×b ® ¥. Это явление носит назва­ние резонанса. При n = 0 выражение для b упрощается и прини­мает вид:

.

При больших t первое слагаемое из (8.5), описывающее свобод­ные колебания системы, затухает и колебания системы описыва­ются выражением:

. (8.7)

Заметим, что решение (8.5) при нулевых начальных условиях ( ), при любых значениях t описывается выражением (8.7).

При выполнении практических расчетов, при известном коэф­фициент b, легко определяется величина максимальных динамических напряже­ний и перемещений в упругих элементах заданной системы:

s^ДИН = s^СТ × b; y^ДИН = y^СТ × b;

y^ДИН = P₀ × d₁₁× b; y^CT = P₀ × d₁₁,

где под s^СТ, y^CT понимается то напряжение и перемещение соответственно, которые возникали бы в сис­теме при статическом приложении максимального значения возму­щающей силы величиной P₀.

Рис. 8.3

В случае, если сопоставление частот w и j указывает на их опасную близость w » j, т.е. опасность возникновения резонанса, путем конструктивных мероприятий добиваются изменения той или иной частоты. При этом, наиболее целесообразным является изменение частот в сторону увеличения отношения с тем условием, чтобы добиться наиболее заметного снижения коэффи­циента b.