8.3. Пример расчета (задача № 16)

Определить динамический прогиб и напряжения в опасных се­чениях балок КD и АВ, возникающих под действием работающего электромотора весом G = 10 кН (рис. 8.4, а). Вес неуравновешан­ных частей ротора Р = 1 кН. Эксцентриситет вращающихся масс е = 0,02 м. Число оборотов ротора n = 600 об/мин. Массой балок в расчетах пренебречь. Поперечное сечение балок КD и АВ состоит из двух двутавров №20 (Ix = 1840×10-8 м4; Wx = 184×10-6 м3). Модуль упругости стали Е = 2×108 кН/м2.

Рис. 8.4

Решение

1. Определение статического прогиба в сечении С балки КD и статического напряжения в сечении у задел­ки А. Из уравнений равновесия статики SmD = 0 и SmK = 0 найдем опорные реакции в балке КD (рис. 8.4, б):

кН.

На балку АВ в точке В(К) опоры на консоль передается нагруз­ка Р = 5 кН, равная по величине опорной реакции RK , но обратная по направлению. Из уравнений SmA = 0 и åy = 0 определяем реак­тивные усилия в заделке А балки АВ: МA = 10 кН×м; RА = 5 кН. Оп­ределив опорные реакции в балках, строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балок КD и АВ (рис. 8.4, в, г, е, ж). Зная величины изгибающих моментов, возникающих в опас­ных сечениях балок, определяем статические напряжения в сечени­ях С и А:

кН/м2;

кН/м2.

Для определения статического прогиба в точке С балки КD вна­чале предполагаем, что эта балка опирается на абсолютно жесткое основание. Используя метод начальных параметров, составляем уравнение прогибов, приняв начало координат в сечении D.

,

где y0 = 0, М0 = 0, j0 ¹ 0, .

Для нахождения j0 составим уравнение прогиба для сечения К в котором прогиб равен нулю из условий закрепления:

Так как y0 = 0, то, решая это уравнение, получим:

.

Подставив найденное значение j0 в уравнение прогиба для се­чения С, получим формулу для определения :

м.

Для вычисления полного перемещения сечения С с учетом характера опирания балки КD на консольную балку необходимо найти прогиб консольной балки АВ от действия на нее силы РK = -RK = 5 кН. Для этого, приняв начало координат в сечении В балки АВ, соста­вим уравнение метода начальных параметров для определения прогиба на конце консоли. При начале координат в точке В консоли известными параметрами будут: М0 = МB = 0; Q0 = QB = -РK = -5 кН, а неизве­стными y0 = yB ¹ 0; j0 = jB ¹ 0. Неизвестные начальные параметры y0 и j0 определим из уравнений прогиба и угла поворота для сечения А. Из условия закрепления балки АВ имеем при z = l = 2 м yA = jА = 0.

Составим уравнения метода начальных параметров:

(а)

. (б)

Приравняв к нулю уравнение (а) при z = l м, определяем j0:

.

Подставив найденное значение j0 в уравнение (б) и принимая y = 0 при z = l , получим выражение второго неизвестного на­чального параметра y0 , определяющего прогиб сечения В консоль­ной балки АВ:

;

;

м.

Знак “минус” говорит о том, что конец консольной балки пере­местится вниз.

Определив прогиб и изобразив эпюру перемещений систе­мы (рис. 8.4, з), вычислим величину полного перемещения сече­ния С по формуле:

м.

2. Определение динамического коэффициента и коэффициента эквивалентности. Макси­мальное значение системы внешних сил принимает значение G + b×P0. Далее определяем коэффициент эквивалентности:

,

где - амплитудное значение инерционной силы; b = - коэффициент динамичности. Здесь -частота собственных колебаний; - частота возмущающей силы.

В рассматриваемом примере:

кН;

.

3. Определение прогиба и напряжений. Максимальное значение напряжения и прогиб, возникающие от совместного действия статических и дина­мических нагрузок, определяем по формулам:

кН/м2,

м.

При коэффициенте КД = 1,145 найдем также напряжение в се­чении А балки АВ:

кН/м2.

Следовательно, полученное значение напряжения больше, чем напряжение в сечении С, где установлен электромотор. Итак, сече­ние в заделке в данном примере является наиболее опасным , и, следовательно, это обстоятельство необходимо учитывать при проверке прочности составных конструкций.

С увеличением числа оборотов двигателя возрастают динамиче­ские напряжения и прогибы балок. Поэтому при проектировании конструкций не следует допускать наступления резонанса (w = j), при котором может наступить разрушение конструкции.