10.2. Определение напряжений на произвольной площадке. Главные оси и главные напряжения

Из напряженного тела в окрестности произвольной точки вы­делим элементарный объем в виде тетраэдра (рис. 10.2).

Ориентация площадки в пространстве задается направляющими косинусами нормали v к ней - l = cos(x, v), m = cos(y, v), n =
= cos (z, v).

Вектор полного напряжения на произвольной площадке abc спроецируем на оси x, y и z. Обозначим эти проекции через , , .Обозначая площадь треугольников abc, a0b, b0c, a0c через dF, dFx , dFy , dFz , соответственно будем иметь:

dFx = dF×l; dFy = dF×m; dFz = dF×n. (10.3)

Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, по­следовательно на оси x, y, z и с учетом (10.3) получим:

X = sx × l + tyx × m + tzx × n;

Y = tyx × l + sy × m + tzy ×n; (10.4)

Z = tzx × l + tzy × m + sz ×n.

Выразим нормальное напряжение sv на наклонной площадке через X, Y, Z:

sv = X × l + Y × m + Z × n . (10.5)

Отcюда, с учетом (10.3) получим

sv=sx×l 2 +sy×m 2 +sz×n 2 +2tyz×m×n+2tzx×n×l+2txy×l×m. (10.6)

Рассмотрим множество секущих площадок произвольной ори­ентации, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каж­дой площадке отложим отрезок r = f(sv), координаты конца век­тора которого будут следующими:

x = r × l; y = r × m; z = r × n.

Исключая из (10.6) направляющие косину­сы, получим

sv×r 2 =sx×x 2+sy×y 2+sz×z 2+2tyz×yz+2txy×xy+2txz×xz. (10.7)

Принимая обозначение

,

где k - произвольная постоянная, из (10.6) получим:

sx×x 2+sy×y 2+sz×z 2+2tyz×yz+2txy×xy+2txz×xz= k. (10.8)

Из курса аналитической геометрии известно, что (10.8) пред­ставляет собой уравнение поверхности второго порядка в системе координат x, y, z. Следовательно путем поворота системы коорди­нат уравнение (10.8) можно преобразовать таким образом, чтобы попарные произведения исчезли, или иначе говоря коэффициенты попарных произведений принимали нулевые значения.

Это значит, что в произвольной точке напряженного тела суще­ствует такое положение системы координат x, y, z, в которой каса­тельные напряжения txy, txz, tyz равны нулю.

Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них - главными напряжениями. Принимаются такие обозначения: s1 ³ s2 ³ s3.

Рис. 10.2

Если в окрестнос­ти рассматриваемой точки определены по­ложение главных пло­щадок и главные на­пряжения, то сущест­венно упрощается си­стема уравнений (10.4). Они принимают вид:

X = s1 × l; Y = s2 × m;
Z = s3 × n.

Так как l 2 + m 2 + + n 2 =1, то получим:

.

Рис. 10.3

Следовательно, гео­метрическое место концов вектора пол­ного напряжения Р (X, Y, Z) об­разует эллипсоид, полуосям ко­торого являются главные напря­жения s1, s2, s3 (рис. 10.3). Полученный эллипсоид носит название эллипсоида напря­жений. В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид принимает форму тела враще­ния. Тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения становится главной. В случае, если все три главных на­пряжения равны между собой, то эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными.

Рассмотрим как определяются величины главных напряжений через заданные значения шести компонентов напряжений sx , sy , sz , txy , txz , tyz в произвольной системе координат x, y, z. Воз­вращаясь к рис. 10.2, предполагаем, что наклонная площадка явля­ется главной.

Обозначая полное напряжение на этой площадке через S можем записать:

X = S×l; Y = S×m; Z = S×n. (10.9)

Соотношения (10.4) преобразуются к виду:

S × l = sx × l + tyx × m + tzx × n;

S × m = tyx × l + sy × m + tzy × n; (10.10)

S × n = tzx × l + tzy × m + sz × n;

или

(sx - S) × l + tyx × m + tzx × n = 0;

tyx × l + (sy - S) × m + tzy × n = 0; (10.11)

tzx × l + tzy × m + (sz - S) × n = 0.

Так как, l 2 + m 2 + n 2 = 1, следовательно, l, m, n одновременно не могут быть равны нулю. Для того, чтобы система однородных уравнений (10.11) относительно l, m, n имела бы решение, отлич­ное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

. (10.12)

Отсюда

S 3 - S 2 I1 + S I2 - I3 = 0, (10.13)

где

I1 = sx + sy + sz ;

I2 = sy sz + sz sx + sx sy - tyx2 + tyz2 + txz2;

. (10.14)

Все три корня уравнения (10.13) являются вещественными и определяют значения главных напряжений s1, s2, s3. Коэффи­циенты I1, I2, I3 называются инвариантами напряженного состояния и их значения не зависят от выбранной системы координат x, y, z.

Для определения положения главных площадок необходимо вычислить значения направляющих косинусов следующим образом. В два из трех уравнений системы (10.11) подставляются значения главных напряжений s1, s2, s3, а в качестве третьего используется равенство l 2 + m 2 + n 2 = 1.

Если I3 = 0 очевидно, что один из корней уравнения (10.7) также будет равен нулю. В этом случае напряженное состояние является плоским или двухосным. В частности, напряженное со­стояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого имеется s1 = -s3 , s2 = 0.

Рис. 10.4

Если I2 = I3 = 0 то из уравнения (10.13) очевидно, что имеет место два нулевых корня и только одно из главных на­пряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется од­ноосным. Данное обстоя­тельство имеет место при простом сжатии или растя­жении бруса или при чис­том изгибе.

На практике, если име­ется сложное напряженное состояние, для выполнения расчетов на прочность не­обходимо выразить напря­жения, действующие на произвольной площадке, проходящей через данную точку, через главные напря­жения. С этой целью рас­смотрим равновесие призмы, показанной на рис. 10.4.

Проецируя все силы, действующие на призму, на оси, совпа­дающие с векторами s и t (рис. 10.4), получим:

;

.

Эти выражения можно преобразовать к виду:

(10.15)

Рассматривая совместно полученные выражения для s и t, можно получить следующее выражение:

.

В системе координат s, t это уравнение окружности. Получен­ный круг называется кругом Мора или круговой диаграммой на­пряженного состояния. В заключение заметим, что при имеет место:

.