10.8. Пример расчета (задача № 19)

Определить главные напряжения и направления главных пло­щадок, если напряженное состояние в точке задано следующими компонентами: sxx = 50 МПа, syy = -20 МПа, szz = 30 МПа, txy =
= -10 МПа, tyz = 10 МПа, tzx = 10 МПа.

Решение

1. В соответствии с (10.14) определяем инварианты заданного напряженного состояния:

I 1 = sxx + syy + szz = 50 - 20 + 30 = 60 МПа;

I 2= sxx syy + syy szz +sxx szz - = 50×(-20) +
+ (-20)×30 + 30×50 - 102 - 102 - 102 = -400 МПа.

I 3=sxx syy szz - =
=50×(-20)×30-50×102-(-20)×102-30-102+2×(-10)×10×10=-38000 МПа.

2. Определяем коэффициенты уравнения (10.13). Если сделать

замену неизвестного S =s = x + , то из (10.13) получаем приве­денное уравнение:

,

где

p = -400- =-1600, q = .

Определим дискриминант приведенного уравнения:

.

Так как дискриминант отрицателен, значит все корни приве­денного уравнения вещественные.

3. Вычисление величин главных напряжений. Для решения приведенного уравнения применим формулу Кардано:

,

где

cos j ®j = 124,63°;

cos(j/3) = cos(41,54°) = 0,7484; cos(j/3+2p/3)=-0,9486; cos(j/3 + + 4p/3) = 0,2;

;

.

Окончательно получим:

s1 = 34,57 + 60/3 = 54,57 МПа;

s2 = -43,81 + 60/3 = -23,8 МПа;

s3 = 9,22 + 60/3 = 29,22 МПа.

Проверка правильности вычисления главных напряжений: так как I1, I2 и I3 - инварианты, значит их значения постоянны. Ранее были получены их значения в заданной системе координат. Сейчас же найдем их значения в главной системе координат:

I1 = s1 + s2 + s3 = 54,57 - 23,8 + 29,22 = 59,99 МПа;

I2= s1 s2 + s1 s3 + s2 s3 = 54,57×(-23,8) - 23,8×29,22 + 29,22×54,57 =
= -400,2 МПа;

I3 = s1 s2 s3 = 54,57×(-23,8)×29,22 = -37950 МПа.

Результаты вычислений I1, I2 и I3 в рамках допустимых откло­нений совпадают с результатами, полученными в п. 1 решения.

4. Определяем направляющие косинусы главных площадок. Си­стема уравнений для определения l1, m1, n1 имеет следующий вид:

(50 - 54,57)l1 - 10 m1 + 10 n1 = 0;

-10 l1 - (20 + 54,57) m1 + 10 n1 =0;

.

Решение этой системы: l1 = -0,9334; m1 = 0,0785; n1 = -0,3486. Условия проверки выполняются: (-0,9334)2 +(-0,3486)2 +0,07852 @1.

Система уравнений для определения l2, m2, n2 имеет следую­щий вид:

(50 + 23,81)l2 -10 m2 + 10 n2 = 0;

-10 l2 + (-20 + 23,81) m2 + 10 n2 =0;

.

Решение этой системы: l2 = -0,159; m2 = 0,965; n2 = -0,2086. Условия проверки выполняются: 0,1592 + 0,9652 + (-0,2086)2 @ 1.

Система уравнений для определения l3, m3, n3 имеет следую­щий вид:

(50 - 29,22)l3 - 10 m3 + 10 n3 = 0;

-10 l3 + (-20 - 29,22) m3 + 10 n3 =0;

.

Решение этой системы: l3 = 0,5515; m3 = 0,4328; n3 = -0,7132. Условия проверки выполняются: 0,55152 + 0,43282 + (-0,7132)2 @ 1.