10.10. Основы теории пластичности

При испытании образцов обнаруживаются следующие основ­ные особенности характера деформирования материалов при их нагружении. Упругость - после разгрузки образец полностью восстанавливает свои первоначальные размеры. При этом, если в процессе нагружения связь между напряжениями и деформациями является линейной, то материал называется линейно-упругим или идеально упругим. В противном случае, то есть, если между напряжениями и деформациями связь обнаруживается нелинейной, то материал называется нелинейно упругим.

Теория, в которой в качестве физических соотношений приме­няются линейные соотношения между напряжениями и деформа­циями, т.е. закон Гука, называется теорией идеальной упру­гости. Теория, в которой закон Гука заменяется некоторыми не­линейными соотношениями (ввиду их многообразия), называется нелинейной теорией упругости.

Физические соотношения теории упругости позволяют описать напряженно-деформированное состояние нагруженного тела до оп­ределенных пределов их нагружения, называемой пределом упругости. При напряжениях, превышающих предел упругости, после разрузки наблюдаются заметные остаточные деформации. Свойство материалов относительно неспособности восстанавливать первоначальные размеры образцов после их разгрузки за счет возникновения остаточных деформаций, называется пластич­ностью.

Физические соотношения, взятые в основу теории, позволя­ющие определить переход напряженно-деформированного сос­тояния от упругой стадии к упруго-пластической и описать про­цесс деформирования тела с учетом пластических свойств мате­риалов, называются теорией пластичности.

Учет пластических свойств материалов является чрезвычайно важным этапом в плане совершенствования методов расчета конст­рукций. Если конструкции из хрупких материалов вплоть до стадии разрушения при действии внешних сил не развивают заметных пластических деформаций, то для конструкций из пластических материалов основные деформации формируются именно за счет возникновения пластических деформаций. Так например, полные деформации, соответствующие концу площадки текучести на ре­альной диаграмме, для многих материалов в 30 - 40 раз превышают деформации, соответствующие концу линейного участка.

В настоящее время существуют две теории пластичности. Их различие заключается в конкретной записи физических соотноше­ний. Что же касается двух других основных соотношений механики сплошной среды - уравнений равновесия (10.1), (10.2), и соотно­шений, устанавливающих взаимосвязь между перемещениями и де­формациями (10.16), то они идентичны в обеих теориях пластич­ности и имеют тот же вид, что и в теории упругости.

В деформационной теории пластичности, разработан­ной А.А. Ильюшиным, взамен закона Гука устанавливаются новые соотношения между напряжениями и деформациями.

Во второй теории - теории течения, физические соотноше­ния связывают напряжения с приращениями деформаций или ско­ростями деформаций.

Как показывают экспериментальные исследования, деформаци­онная теория пластичности справедлива при относительно неболь­ших пластических деформациях для простого нагружения, т.е. ког­да все внешние нагрузки изменяются пропорционально во време­ни.

Теория течения является эффективным при изучении процес­сов, связанных с возникновением больших деформаций и при сложном нагружении, т.е. когда нагрузки, прикладываемые к телу, изменяются во времени независимо друг от друга.

Здесь ограничимся рассмотрением только деформационной теории пластичности.

Процесс деформирования материалов можно условно разделить на две стадии. Начальная стадия - упругое деформирование. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связа­ны законом Гука. (10.18)-(10.19). Для реальных инженерных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состоя­ния тела, как в упругой, так и в упруго-пластической ста­дии деформирования, предварительно необходимо установить: во-первых, условие перехода от упругой стадии деформирования к пластической стадии и, во-вторых, установить физические зависи­мости во второй стадии деформирования.

Условия перехода от упругого состояния к пластическому могут быть определены по формулам одной из гипотез предельного сос­тояния.

Как это было изложено в п. 10.6, наиболее приемлемыми являются гипотезы максимальных касательных напряже­ний и энергии формоизменения. При этом, для построения соотношений пластичности гипотеза энергии формоизменения яв­ляется наиболее приемлемой, согласно которой переход из упруго­го состояния в пластическое происходит тогда, когда величина

(10.30)

называемая интенсивностью напряжений, достигает определенной величины, равной пределу текучести материала s_T при одноосном напряженном состоянии, т.е.

s_i = s_T. (10.31)

С учетом физических соотношений (10.18) и (10.19) выражение (10.30) принмает вид:

s_i = Ee_i , (10.32)

где принято обозначение:

(10.33)

называемое интенсивностью деформаций.

Следовательно, соотношение (10.32), следует рассматривать как одну из форм выражения обобщенного закона Гука.

Выражения интенсивности напряжений и интенсивности де­формаций, записанные через главные напряжения и деформации можно представить в виде:

(10.34)

В основу деформационной теории пластичности заложены сле­дующие гипотезы.

Первая гипотеза устанавливает связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций (рис. 10.9), и гла­сит, что она не зависит от вида напряженного состояния, т.е.

, (10.35)

где E(e_i) - является переменной величиной и зависит от значе­ния e_i. Соотношения (10.35) яв­ляются едиными для всех видов напряженного состояния.

Согласно второй гипотезе - изменение объема является чисто упругой. Это положение хорошо согласуется с экспериментальными данными, так как при всестороннем сжатии в материалах заметных плас­тических деформаций не обнаруживается.

При деформировании материалов пластические деформации, как правило, существенно больше упругих и, учитывая, что объ­емная деформация e является величиной порядка упругих удлине­ний, поэтому принимается, что при пластическом деформи-ровании изменение объема пренебрежительно мало. На основании этого по­ложения вводится гипотеза, что в пластической стадии деформи­рования материал считается несжимаемым. Откуда следует, что в пластической стадии деформирования можно коэффициент Пуас­сона принимать равным m = 0,5.

Сначала определим физические соотношения при одноосном растяжении, когда

Из (10.30) и (10.33), соответственно получим e_i = e и s_i = s, что подтверждает первое положение теории, что аналитическое вы­ражение (10.35) едино для всех видов напряженного состояния. Данное обстоятельство позволяет определить переменный модуль деформирования по диаграмме s ~ e, т.е. .

В заключение, аналогично соотношениям (10.18)-(10.19) запи­шем физические соотношения между напряжениями и деформа­циями при пластической стадии деформирования тела:

здесь является модулем деформации при сдвиге, кото­рый определяется следующим образом:

. (10.37)

Приведенные физические соотношения деформационной тео­рии пластичности являются справедливыми при простых нагруже­ниях, т.е. только в тех случаях, когда все внешние силы на всех этапах нагружения во времени изменяются пропорционально. В данном случае заметим, что главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление незави­симо от стадии деформирования.