11.3. Прочность толстостенной цилиндрической оболочки при действии внутреннего и внешнего давлений

Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы в цилин­дрической системе координат r, j, z (рис. 11.6, а) при действии внутреннего p_a и внешнего давления p_b , которые являются осе­симметричными нагрузками и вдоль оси z являются постоянными величинами (рис. 11.6, б).

Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через u. Величина u в данном случае является функцией только от текущего радиуса r.

Рис. 11.6

Обозначим e_r и e_j относительное удлинение в цилиндре в радиальном и окружном направлении и выразим их через переме­щение u. Рассмотрим элементарный отрезок АВ = dr, выделенный в радиальном направлении до и после нагружения цилиндра (рис. 11.7, а). Для определения e_j достаточно рассмотрения рис. 11.7, б.

Рис. 11.7

С учетом принятых обозначений и формы деформирования ци­линдра получим:

. (11.18)

Для изучения напряженного состояния выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 11.8). В осе­вых сечениях цилиндра из условий симметрии касательные напря­жения отсутствуют и сохраняются только нормальные окружные напряжения s_j .

Рис. 11.8

Поскольку в поперечных и радиальных сечениях касательные напряжения также отсутствуют, следовательно, площадки в попе­речном, радиальном и тангенциальном направлениях являются главными площадками, а напряжения s_z, s_r , s_j являются глав­ными напряжениями.

Проецируя силы, действующие на выделенный элемент (рис. 11.8), на радиальное направление, получим следующее усло­вие равновесия:

,

откуда

. (11.19)

Остальные уравнения равновесия для элемента выполняются тождественно.

Закон Гука в данном случае принимает вид:

(11.20)

Деформация по направлению z отсутствует, из предположения, что цилиндр бесконечно длинный, т.е. e_z = 0

Выражение напряжений в осевом направлении определяется самостоятельно, если учесть, что в поперечных сечениях цилиндра с площадью действует продольная сила:

N_z = - (p_в D ² - p_a d ²).

Следовательно,

. (11.21)

Из (11.20) с учетом (11.18) выражения для напряжений s_j и s_r принимают вид:

(11.22)

Тогда уравнение равновесия (11.19) с учетом (11.22) примет окончательный вид:

. (11.23)

Решение (11.23) записывается в виде:

, (11.24)

где с₁ и с₂ - постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий задачи:

при . (11.25)

Подставляя выражение u из (11.24) в выражение s_r из (11.22) с учетом граничных условий (11.25) получим:

(11.26)

В результате совместного рассмотрения (11.22), (11.24) и (11.26) выражения для напряжения примут окончательный вид:

(11.27)

Рассмотрим случай нагружения цилиндра только внутренним давлением, тогда принимая p_в = 0, из (11.21) и (11.27) получим:

;

; (11.28)

.

Анализ выражений (11.28) показывает, что s_j > s_z > s_r Следо­вательно s_j = s₁; s_z = s₂; s_r = s₃ . Выражение интенсивности напряжения в данном случае принимает вид:

.

Из (11.28), учитывая, что

. (11.28¢)

получим

. (11.29)

Предположим, что цилиндр изготовлен из неупрочняющегося материала для которого условие пластичности выражается в следующем виде:

s_i = s_T, (11.30)

где s_T - предел текучести материала цилиндра.

Подставляя (11.29) в (11.30) получим условия пластичности для данного случая:

s_j - s_r = 2 K, (11.31)

где .

Из анализа выражений напряжений (11.28) следует вывод, что наибольшее значение напряжение s_j принимает при r = d/2, т.е. на внутренней границе цилиндра. Следовательно, по мере увеличе­ния внутреннего давления в пластическое состояние будут сначала переходить внутренние, а затем и более близкие к внешней границе слои материала.

Для определения значения давления, при котором слои на вну­тренней границе цилиндра, т.е. при r = d/2, переходят в пластиче­ское состояние, воспользуемся условием пластичности (11.31), под­ставляя в него выражение напряжений из (11.28):

. (11.32)

По мере дальнейшего роста внутреннего давления зона плас­тичных деформаций от внутренней поверхности распространяется в сторону наружной поверхности.

Для случая когда все поперечное сечение оболочки находится в пластическом состоянии рассматривается условие равновесия (11.18) и условие пластичности (11.31) и тогда:

. (11.33)

Проинтегрировав последнее уравнение, получим:

. (11.34)

Постоянная интегрирования C определяется из граничных ус­ловий задачи:

r = D/2; s_r = 0. (11.35)

Подставляя (11.34) в (11.35), определим: . Следователь­но, из (11.34) окончательно получим:

. (11.36)

Из условия пластичности (11.31) будем иметь

. (11.37)

Выражение для s_z принимает вид:

. (11.38)

Величину внутреннего давления, при действии которого вся оболочка переходит в пластическое состояние, обозначим p_а = Р_ПР и получим из граничных условий задачи при r = d/2 Р_ПР = s_r Следовательно, из (11.36) получим:

Р_ПР = 2K ln .