4.2. Определение скоростей и ускорений механизма методом планов

Метод планов является одним из самых наглядных. Определению подлежат линейные скорости и ускорения отдельных точек и угловые скорости и ускорения звеньев. При этом предварительно составляются векторные уравнения для скоростей и ускорений точек звеньев, совершающих сложное движение, например:

а) звено совершает плоскопараллельное движение, состоящее из переносного, т.е. поступательного со скоростью полюса и относительного вращательного вокруг полюса (рис.15).

Принимая за полюс т. A, получим:

VB=VA+VBA; где VBA=w·lAB;

aB=aA+aBA; где aBA=anBA+atBA при

anBA=w2·lAB; atBA=e·lAB.

Здесь V, a, w, e - линейные скорости и ускорения соответствующих характерных точек, а также угловые скорость и ускорение звена (индексы соответствуют характеру ускорений и обозначениям точек).

б) звено совершает сложное движение, состоящее из переносного вращательного и относительного поступательного, например, звено 1 (рис.16).

Пусть B1 и B2 – точки, принадлежащие звеньям 1 и 2. Тогда:

VB1=VB2+VB1B2, где VB2=w·lAB.

aB1=aB2+atB1B2+akB1B2, где ускорение Кориолиса

akB1B2=2VB1B2·w и совпадает с направлением вектора VB1B2, повернутого на 90 в сторону переносного вращения.

Решение векторных уравнений осуществляется графически путем построения так называемых планов скоростей и ускорений, на которых абсолютные скорости и ускорения откладываются от одной точки, называемой полюсом, в определенном масштабе.

Пример расчета кривошипно-ползунного механизма рассмотрен на рис.17, где план положений (рис.17, а), план скоростей и ускорений (рис.17, б, в).

Векторные уравнения для скоростей записываются в виде:

VB=VA+VBA; VB=VBx+VBBx;

где VA=w1·lOA; VBx=0; VBA_|_AB; VBBx||x-x,

т.е. в выбранном масштабе μV: pb||x-x; ab_|_AB

VBA= μV·ab; VB= μV·pb и w2= VBA/ lAB.

Векторные уравнения для ускорений при w1=const записываются в виде:

aB=aA+aBA; aB=aBx+akBBx+atBBx; где aA=anA=w12·lOA; aBA=anBA+atBA;

здесь anBA=w22·lAB; atBA2·lAB; aBx=0; akBBx=0; atBBx||x-x.

Все ускорения представлены на рис.17 в выбранном масштабе μa в виде соответствующих отрезков, например, aBa·πb и т.д.


При определении скоростей и ускорений промежуточных точек звеньев, например т. S, можно использовать так называемую теорему подобия, согласно которой точки на плане положений звеньев и соответственные точки на планах скоростей и ускорений образуют подобные фигуры или пропорциональные отрезки. Рассмотрим доказательство данной теоремы. На рис.18 показано звено ABC и планы скоростей и ускорений для точек этого звена:

отрезок ca на плане скоростей соответствует VCA_|_CA;

отрезок ca на плане скоростей соответствует VCA_|_CA;

отрезок ab на плане скоростей соответствует VAB_|_AB;

отрезок bc на плане скоростей соответствует VBC_|_BC;

т.е. треугольник abc подобен треугольнику ABC.

Ускорения относительного (вращательного) движения равны:

; ; ,

т.е. aCA/ lCA =aAB/ lAB =aBC/ lBC или ca/CA=ab/AB=bc/BC,

Следовательно, треугольник abc подобен треугольнику ABC. Аналогичным является построение фигур для любой промежуточной точки, например т. S (рис.18, а, б).